高等数学 （第三版）（上下册）

再版前言

本书自2015年9月出版以来，广大同行和读者对教材结构严谨、逻辑清晰、通俗易懂、便于自学的优点给予了充分肯定，同时也提出了不少宝贵意见和建议。通过几年的教学实践，我们注意吸取其他优秀教材之所长，在第二版基础上，根据多年的教学改革实践和广大读者提出的建议进行了修订。修订工作主要包括以下三方面内容：

（1）仔细校对并订正了第二版中的印刷错误。

（2）对第二版中的某些疏漏和不妥之处作了补充完善。

（3）在第二版基础上，增加、调整了部分例题和习题，使之与书中内容搭配更加合理。

本书上册由郭照庄任主编，张文治、陈博海、毕晓华任副主编。其中，郭照庄编写第1章及附录2；张文治编写第2章、第3章；陈博海编写第4章、第5章；毕晓华编写第6章、第7章；靳雨轩编写附录1；江志超、何精华、刘园园、岳雅璠、张京轩、聂铭玮、霍东升、李雪、任天、刘玲、赵菲菲、张跃忠、张向、沈浩静、许雪燕、田美杰、史桂源等也参与了本书部分编写工作。

本书下册由郭照庄任主编，邓凤茹、孙月芳、赵艳、张静任副主编。其中，邓凤茹编写第8章、第9章；孙月芳编写第10章；赵艳编写第11章；张静编写第 12 章；靳雨轩编写附录 1；郭照庄编写附录 2；江志超、何精华、刘园园、岳雅璠、张京轩、聂铭玮、霍东升、李雪、任天、刘玲、赵菲菲、张跃忠、王月珍、董莉莉、张哲、张涵等也参与了本书部分编写工作。

本书这一版由何春江教授审阅，对此我们表示衷心的感谢。

书中标注*的内容，教师可根据课时安排、教学目标、学生实际情况决定是否讲解。限于编者水平，书中不妥之处在所难免，恳请专家、同仁和读者批评指正。

编 者

2025年4月

上册目录
再版前言
第1章 函数、极限与连续 1
本章学习目标 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 函数的性质 3
1.1.3 反函数、隐函数与复合函数 4
1.1.4 函数的运算 5
1.1.5 初等函数 5
习题1.1 6
1.2 数列的极限 7
1.2.1 数列极限的概念 7
1.2.2 收敛数列的性质与子数列 9
习题1.2 10
1.3 函数的极限 11
1.3.1 函数极限的概念 11
1.3.2 函数极限的性质 14
习题1.3 14
1.4 无穷小与无穷大 15
1.4.1 无穷小 15
1.4.2 无穷大 16
习题1.4 16
1.5 极限运算法则 17
习题1.5 19
1.6 极限存在准则与两个重要极限 20
1.6.1 极限存在准则 20
1.6.2 两个重要极限 21
习题1.6 24
1.7 无穷小的比较 24
习题1.7 26
1.8 函数的连续性 27
1.8.1 函数连续性的概念 27
1.8.2 函数的间断点及其类型 28
1.8.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 31
习题1.8 32
1.9 闭区间上连续函数的性质 33
1.9.1 有界性与最大值最小值定理 33
1.9.2 介值定理和零点定理 34
习题1.9 35
本章小结 35
复习题1 36
自测题1 37
第2章 导数与微分 39
本章学习目标 39
2.1 导数的概念 39
2.1.1 导数概念的引例 39
2.1.2 导数的概念 40
2.1.3 导数的几何意义 42
2.1.4 可导与连续的关系 45
习题2.1 46
2.2 导数的运算 47
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 47
2.2.2 复合函数的导数 49
2.2.3 反函数的求导法则 50
2.2.4 初等函数的导数 51
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 52
2.2.6 高阶导数 54
习题2.2 56
2.3 微分 57
2.3.1 微分的概念 57
2.3.2 微分的几何意义 59
2.3.3 微分的基本公式与运算法则 60
2.3.4 微分在近似计算中的应用 61
习题2.3 62
本章小结 63
复习题2 63
自测题2 64
第3章 微分中值定理与导数的应用 66
本章学习目标 66
3.1 微分中值定理 66
3.1.1 罗尔定理 66
3.1.2 拉格朗日中值定理 67
3.1.3 柯西中值定理 70
习题3.1 70
3.2 洛必达法则 70
3.2.1 型未定式 70
3.2.2 型未定式 72
3.2.3 其他类型的未定式 73
习题3.2 74
3.3 函数的单调性、极值和最值 74
3.3.1 函数的单调性 74
3.3.2 函数的极值 76
3.3.3 函数的最大值和最小值 78
习题3.3 80
3.4 曲线的凹凸性与拐点 81
习题3.4 83
3.5 函数图形的描绘 83
习题3.5 85
3.6 曲率 86
3.6.1 曲率的概念 86
3.6.2 弧微分 86
3.6.3 曲率的计算公式 87
习题3.6 88
本章小结 88
复习题3 89
自测题3 90
第4章 不定积分 92
本章学习目标 92
4.1 不定积分的概念与性质 92
4.1.1 不定积分的概念 92
4.1.2 基本积分公式 95
4.1.3 不定积分的性质 96
习题4.1 97
4.2 不定积分的换元积分法 99
4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 99
4.2.2 第二类换元积分法 105
习题4.2 108
4.3 分部积分法 110
习题4.3 113
*4.4 有理函数的积分及积分表的使用 113
4.4.1 简单有理函数的积分 114
4.4.2 三角函数有理式的积分举例 116
4.4.3 积分表的使用 117
习题4.4 118
本章小结 118
复习题4 120
自测题4 122
第5章 定积分 124
本章学习目标 124
5.1 定积分的概念与性质 124
5.1.1 引出定积分概念的实例 124
5.1.2 定积分的概念 127
5.1.3 定积分的几何意义 128
5.1.4 定积分的基本性质 128
习题5.1 131
5.2 定积分基本公式 131
5.2.1 积分上限函数 131
5.2.2 微积分学基本定理 133
习题5.2 135
5.3 定积分的换元法和分部积分法 136
5.3.1 定积分的换元积分法 136
5.3.2 定积分的分部积分法 140
习题5.3 143
5.4 广义积分 144
5.4.1 无穷区间上的广义积分 144
5.4.2 无界函数的广义积分 147
习题5.4 149
本章小结 150
复习题5 151
自测题5 153
第6章 定积分的应用 154
本章学习目标 154
6.1 定积分的微元法 154
6.2 定积分在几何学上的应用 155
6.2.1 用定积分求平面图形的面积 155
6.2.2 用定积分求体积 161
习题6.2 164
6.3 定积分在物理学上的应用 165
6.3.1 变力沿直线所做的功 165
6.3.2 液体的压力 166
6.3.3 引力 167
习题6.3 168
本章小结 169
复习题6 170
自测题6 170
第7章 常微分方程 172
本章学习目标 172
7.1 常微分方程的基本概念 172
习题7.1 174
7.2 可分离变量的微分方程 175
习题7.2 179
7.3 齐次方程 179
习题7.3 181
7.4 一阶线性微分方程 181
习题7.4 186
7.5 可降阶的高阶微分方程 186
7.5.1 型的微分方程 187
7.5.2 型的微分方程 188
7.5.3 型的微分方程 190
习题7.5 192
7.6 高阶线性微分方程解的结构 192
习题7.6 195
7.7 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 195
习题7.7 198
7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 198
习题7.8 205
7.9 微分方程的应用 206
7.9.1 一阶微分方程的应用 206
7.9.2 二阶微分方程的应用 207
习题7.9 210
本章小结 211
复习题7 212
自测题7 215
附录1 积分表 217
附录2 习题参考答案 225
参考文献 244
下册目录
再版前言
第8章 空间解析几何与向量代数 1
本章学习目标 1
8.1 空间直角坐标系与向量的概念 1
8.1.1 空间直角坐标系 1
8.1.2 向量的概念及其线性运算 4
8.1.3 向量的坐标表示 6
习题8.1 9
8.2 向量的数量积与向量积 9
8.2.1 向量的数量积 9
8.2.2 向量的向量积 11
习题8.2 14
8.3 平面及其方程 14
8.3.1 平面的点法式方程 14
8.3.2 平面的一般式方程 16
8.3.3 平面的截距式方程 18
8.3.4 平面与平面的位置关系 19
习题8.3 20
8.4 空间直线及其方程 21
8.4.1 直线的一般式方程 21
8.4.2 直线的点向式方程与参数方程 21
8.4.3 平面、直线的位置关系 23
8.4.4 综合举例 25
习题8.4 26
8.5 曲面及其方程 27
8.5.1 曲面方程的概念 27
8.5.2 球面 27
8.5.3 柱面 28
8.5.4 旋转曲面及其方程 30
8.5.5 几种常见的二次曲面 31
习题8.5 37
8.6 空间曲线 37
8.6.1 空间曲线的一般方程 37
8.6.2 空间曲线的参数方程 38
8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 39
习题8.6 40
本章小结 41
复习题8 41
自测题8 42
第9章 多元函数微分学及其应用 44
本章学习目标 44
9.1 多元函数的概念、极限及连续 44
9.1.1 平面点集及区域 44
9.1.2 多元函数的概念 46
9.1.3 多元函数的极限 47
9.1.4 多元函数的连续 49
习题9.1 50
9.2 偏导数 51
9.2.1 偏导数的概念及其计算方法 51
9.2.2 高阶偏导数 54
习题9.2 55
9.3 全微分 56
习题9.3 58
9.4 多元复合函数求导法则 58
习题9.4 62
9.5 隐函数的求导公式 62
9.5.1 一元隐函数的求导公式 62
9.5.2 二元隐函数的求导公式 63
习题9.5 64
9.6 多元函数微分学在几何上的应用 64
9.6.1 空间曲线的切线与法平面 64
9.6.2 曲面的切平面与法线 67
习题9.6 70
9.7 多元函数的极值与最值 70
9.7.1 多元函数的极值 70
9.7.2 多元函数的最值 72
9.7.3 条件极值、拉格朗日乘数法 74
习题9.7 76
本章小结 77
复习题9 77
自测题9 78
第10章 重积分 79
本章学习目标 79
10.1 二重积分的概念与性质 79
10.1.1 二重积分的概念 79
10.1.2 二重积分的性质 83
习题10.1 84
10.2 二重积分的计算 86
10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 86
10.2.2 极坐标系下二重积分的计算 93
习题10.2 97
10.3 三重积分 98
10.3.1 引例 98
10.3.2 三重积分的概念 99
10.3.3 三重积分的计算 99
习题10.3 106
10.4 重积分的应用 107
10.4.1 立体的体积 107
10.4.2 曲面的面积 108
10.4.3 质心 109
10.4.4 转动惯量 110
习题10.4 111
本章小结 112
复习题10 112
自测题10 113
第11章 曲线积分与曲面积分 115
本章学习目标 115
11.1 对弧长的曲线积分 115
11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 115
11.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 118
习题11.1 120
11.2 对坐标的曲线积分 121
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 121
11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 124
11.2.3 两类曲线积分之间的联系 127
习题11.2 129
11.3 格林公式及其应用 130
11.3.1 格林公式 130
11.3.2 平面曲线积分与路径无关的定义与条件 135
习题11.3 141
*11.4 对面积的曲面积分 143
11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 143
11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 144
习题11.4 147
*11.5 对坐标的曲面积分 147
11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 147
11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 152
11.5.3 两类曲面积分之间的联系 154
习题11.5 155
*11.6 高斯公式 156
11.6.1 高斯公式 156
11.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 158
习题11.6 159
*11.7 斯托克斯公式 160
11.7.1 斯托克斯①公式 160
11.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 162
习题11.7 163
本章小结 164
复习题11 165
自测题11 166
第12章 级数 168
本章学习目标 168
12.1 常数项级数的概念与性质 168
12.1.1 常数项级数的概念 168
12.1.2 常数项级数的性质 170
习题12.1 172
12.2 常数项级数的审敛法 173
12.2.1 正项级数及其审敛法 173
12.2.2 交错级数及其审敛法 178
12.2.3 绝对收敛与条件收敛 179
习题12.2 180
12.3 幂级数 182
12.3.1 函数项级数的概念 182
12.3.2 幂级数及其收敛性 183
12.3.3 幂级数的运算性质 186
习题12.3 189
12.4 函数展开成幂级数 189
12.4.1 泰勒级数 189
12.4.2 函数展开成幂级数 191
习题12.4 196
*12.5 傅里叶级数 196
12.5.1 三角级数 196
12.5.2 函数展开成傅里叶级数 197
12.5.3 正弦级数与余弦级数 202
12.5.4 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数 206
习题12.5 208
本章小结 209
复习题12 211
自测题12 213
附录1 积分表 216
附录2 习题参考答案 224
参考文献 240

1. 工程测量实践教程 [王灼英 熊梅]
2. 零基础学电子系统设计—从电子电路基础到Arduino单片机项目开发 [竺春祥 张珂]
3. 基于AI的Web技术项目实战 [主编 李攀 孙晓叶 孙旭光]
4. 数字技能基础 [主编　冯迎　陈伟　刘美丽]
5. 应用数学（第二版） [主编 刘东海 刘丽瑶]
6. 网页设计与制作 [主编 李佼辉 于新奇]
7. 信息技术基础（麒麟操作系统+WPS Office） [主编　芮雪　蒋莉　王亮亮]
8. Office高级应用项目式教程（第2版） [主编 李观金 张倩文 黎夏克 ]
9. 巧用翻译学英语：英汉互译500例 [王学文 著]
10. 高等教育多维评价体系构建与高质量发展研究 [张妍 著]
11. 系统规划与管理师章节习题与考点特训（第二版） [主编 薛大龙]
12. 计算机操作系统实践指导（openEuler版） [主编 秦光 曾陈萍 岳付强]
13. 信息系统管理工程师真题及模考卷精析（适用机考） [主 编 薛大龙 程 刚 上官绪]
14. 航海类院校体育教育教学研究 [张利超 李宁 著]
15. 新时代背景下我国职业教育产教融合长效机制建设研究 [王玉贤 著]
16. 电路分析 [主编 李飞 毛先柏]
17. 信息系统管理工程师（适用第2版大纲）一站通关 [指尖疯　编著]
18. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
19. 网络工程师备考一本通（适配第6版考纲） [夏杰 编著]
20. 陈孝云的职教理想与情怀 [祝吉太 江传瑞 张义廷 著]
21. 地方本科院校电子信息学科课程思政案例集 [王甫]
22. Excel数据处理与分析（第二版） [主编 张志明 邹 蕾]
23. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
24. 仓储管理实务（第二版） [周宁武 编著]
25. 基于AE与C#的地理信息系统二次开发 [李小根 贾艳昌 乔翠平 姜彤 ]
26. 2023年长沙市文化和旅游业发展报告 [主编 陈莉]
27. 舞台化妆造型设计 [主编 刘思彤 张 涛 张忆雨]
28. 产教融合视角高校体育专业实践教学体系构建研究 [杨柳青 叶华兵 著]
29. 知识图谱及应用案例 [张善文 黄文准 于长青 陈明淑]
30. Python程序设计案例教程（微课版） [主编　石利平　田辉平　余以胜]